Phương trình tiếp tuyến
Tiếp tuyến là một khái niệm quan trọng trong hình học, đặc biệt là trong việc nghiên cứu các đường cong. Nói một cách đơn giản, tiếp tuyến là đường thẳng chỉ chạm vào đường cong tại một điểm duy nhất và tại điểm tiếp xúc đó, đường thẳng này có cùng hướng với đường cong.

Phương trình đường tiếp tuyến
Trong hình trên, đường thẳng Delta là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M0. Ta thấy Delta chỉ chạm vào đường tròn tại một điểm duy nhất là M0 và tại điểm M0 này, Delta có cùng hướng với đường tròn.
Tính chất quan trọng của tiếp tuyến
Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm: Trong trường hợp đường cong là đường tròn, tiếp tuyến luôn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
Tiếp tuyến là giới hạn của các dây cung: Khi một dây cung của đường tròn quay quanh một điểm cố định trên đường tròn và tiến tới vị trí trùng với điểm cố định đó thì dây cung sẽ tiến tới vị trí của tiếp tuyến tại điểm cố định.
Phương trình đường tiếp tuyến
Phương trình đường tiếp tuyến là một phương trình đại số biểu diễn đường thẳng tiếp xúc với một đường cong tại một điểm cho trước.
Cách tìm phương trình đường tiếp tuyến:
Tìm đạo hàm: Tính đạo hàm của hàm số tại điểm tiếp xúc. Đạo hàm tại một điểm cho biết hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó.
Viết phương trình đường thẳng: Sử dụng công thức tổng quát của phương trình đường thẳng y = ax + b, trong đó a là hệ số góc (đã tìm được ở bước 1) và b là tung độ gốc.
Tìm tung độ gốc: Thay tọa độ của điểm tiếp xúc vào phương trình đường thẳng để tìm b.
Các bước viết phương trình đường tiếp tuyến:
Tìm đạo hàm:
Tính đạo hàm y' của hàm số đã cho. Đạo hàm tại một điểm cho biết hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó.
Tìm hệ số góc:
Thay tọa độ x của điểm tiếp xúc vào đạo hàm y' để tìm ra hệ số góc k của tiếp tuyến tại điểm đó.
Viết phương trình đường thẳng:
Sử dụng công thức tổng quát của phương trình đường thẳng: y = kx + b, trong đó:
k là hệ số góc (đã tìm được ở bước 2)
b là tung độ gốc
Thay tọa độ của điểm tiếp xúc vào phương trình đường thẳng để tìm b.

Phương trình đường tiếp tuyến
Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm cho trước
Cho: Hàm số y = f(x) và một điểm M(x₀, y₀) thuộc đồ thị.
Yêu cầu: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M.
Cách giải:
Tính đạo hàm y' = f'(x).
Tính hệ số góc k = f'(x₀).
Viết phương trình tiếp tuyến: y - y₀ = k(x - x₀).
Viết phương trình đường tiếp tuyến có hệ số góc cho trước
Cho: Hàm số y = f(x) và hệ số góc k của tiếp tuyến.
Yêu cầu: Viết phương trình đường tiếp tuyến.
Cách giải:
Giải phương trình f'(x) = k để tìm hoành độ x₀ của tiếp điểm.
Tính tung độ y₀ = f(x₀).
Viết phương trình đường tiếp tuyến: y - y₀ = k(x - x₀).
Viết phương trình đường tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước
Cho: Hàm số y = f(x) và một đường thẳng d.
Yêu cầu: Viết phương trình đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song hoặc vuông góc với đường thẳng d.
Cách giải:
Tìm hệ số góc k' của đường thẳng d.
Nếu tiếp tuyến song song với d thì hệ số góc của tiếp tuyến bằng k'.
Nếu tiếp tuyến vuông góc với d thì hệ số góc của tiếp tuyến bằng -1/k'.
Giải phương trình f'(x) = k hoặc f'(x) = -1/k' để tìm hoành độ tiếp điểm.
Tiếp tục giải như các dạng trên.
Bài toán tổng hợp
Kết hợp nhiều điều kiện: Ví dụ, tìm tiếp tuyến đi qua một điểm không thuộc đồ thị, tiếp tuyến có độ dài bằng một giá trị cho trước, ...
Cách giải:
Lập phương trình đường tiếp tuyến tổng quát.
Thay tọa độ điểm đã cho vào phương trình đường tiếp tuyến để tìm các tham số.
Giải hệ phương trình để tìm ra đáp án cuối cùng

Phương trình đường tiếp tuyến
Bài toán liên quan đến cực trị
Cho một điểm P không thuộc đồ thị hàm số. Tìm phương trình đường tiếp tuyến đi qua P và cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt.
Tìm phương trình đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số sao cho góc tạo bởi tiếp tuyến và trục hoành bằng một góc α cho trước.
Tìm phương trình đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số sao cho đoạn chắn của tiếp tuyến trên trục Ox và Oy có độ dài theo một tỉ lệ nhất định.
Bài toán liên quan đến hai đồ thị hàm số
Tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với cả hai đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt.
Tìm điều kiện của các tham số để hai đồ thị hàm số có ít nhất một tiếp tuyến chung.
Bài toán liên quan đến tham số
Cho một hàm số chứa tham số m. Tìm m để đồ thị hàm số có tiếp tuyến song song, vuông góc với một đường thẳng cho trước, hoặc đi qua một điểm cố định.
Cho hai hàm số chứa tham số m. Tìm số giá trị của m để hai đồ thị hàm số có số tiếp tuyến chung bằng k.
Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số đặc biệt
Tìm phương trình đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số sinx, cosx, tanx, cotx tại một điểm cho trước.
Tìm phương trình đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = a^x, y = log_a(x) tại một điểm cho trước.
Bài toán liên quan đến cực trị của độ dài đoạn thẳng:
Cho một đường cong và một điểm cố định. Tìm tiếp tuyến của đường cong sao cho đoạn thẳng nối tiếp điểm với điểm cố định có độ dài ngắn nhất hoặc dài nhất.
Bài toán khác
Tìm phương trình đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2 tại điểm có hoành độ x = 2 sao cho tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = x + 1.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 - 1)x có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2.
Trên đây là một số thông tin về phương trình tiếp tuyến. Hi vọng các bạn sẽ có cho mình thông tin hữu ích.